Diketahui balok KLMN OPQR dengan panjang KL = 5 cm, LM = 2 cm dan MQ = 3 cm. Besar sudut antara rusuk KR dan NM adalah..

90°

Pembahasan

Diketahui:

Balok KLMN OPQR dengan panjang

• KL = 5 cm,
• LM = 2 cm, dan
• MQ = 3 cm.

Ditanya:

Besar sudut antara rusuk KR dan NM

Proses:

Mari kita kerjakan soal ini dengan dua cara, yakni cara biasa yang kita ketahui dan berikutnya secara vektor.

Cara Pertama 

• Rusuk NM digeser menuju rusuk KL, sehingga rusuk KL mewakili NM.
• Pada gambar terlihat dengan jelas bahwa sudut antara rusuk KR dan NM merupakan sudut 90° seperti tampak pada segitiga siku-siku KRL.

Mari kita buktikan lebih jauh menggunakan dalil Phytagoras.

• [tex]KR = \sqrt{KN^2 + NR^2} [/tex]
• [tex]KR = \sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13} \ cm[/tex]

Berikutnya LR sebagai diagonal ruang, gunakan rumus:

• [tex]\boxed{ \ LR = \sqrt{p^2 + l^2 + r^2} \ }[/tex]
• [tex]LR = \sqrt{5^2 + 3^2 + 2^2} = \sqrt{38} \ cm[/tex]

Hubungan antara KR, KL, dan LR dengan menggunakan dalil Phytagoras. Sisi-sisi KR dan KL dianggapa sebagai sisi-sisi berpenyiku sedangkan LR dianggap sebagai sisi miring. KIta buktikan apakah sudut LKR siku-siku.

[tex]KR^2 + KL^2 = LR^2[/tex]

[tex]( \sqrt{13} )^2 + 5^2 = ( \sqrt{38}) ^2[/tex]

[tex]13 + 25 = 38[/tex] terbukti ∠LKR siku-siku.

Terbukti benar sudut antara rusuk KR dan NM sebesar 90°.

Cara Kedua (secara Vektor)

(Catatan: cara ini hanya dapat diterapkan apabila sebelumnya Anda sudah mempelajari materi tentang vektor)

• Balok KLMN.OPQR terletak pada koordinat xyz sedemikian rupa, sehingga pusat koordinat adalah titik N sebagai (0, 0, 0).
• Koordinat titik-titik K, M, dan R berturut-turut adalah (2, 0, 0), (0, 5, 0), dan (0, 0, 3).

Siapkan vektor KR dan vektor NM.

Dari persamaan [tex]\boxed{ \ \overrightarrow{KR} = \overrightarrow{KO} + \overrightarrow{OR} \ }[/tex]

Menjadi [tex]\boxed{ \ \overrightarrow{KR} = \overrightarrow{OR} - \overrightarrow{OK} \ }[/tex]

Vektor KR = OR - OK

[tex]Vektor \ KR = \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\3\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}2\\0\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}-2\\0\\3\end{array}\right] [/tex]

Dari persamaan [tex]\boxed{ \ \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{NO} + \overrightarrow{OM} \ }[/tex]

Menjadi [tex]\boxed{ \ \overrightarrow{NM} = \overrightarrow{OM} - \overrightarrow{ON} \ }[/tex]

Vektor NM = OM - ON

[tex]Vektor \ NM = \left[\begin{array}{ccc}0\\5\\0\end{array}\right] - \left[\begin{array}{ccc}0\\0\\0\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ccc}0\\5\\0\end{array}\right] [/tex]

Siapkan sudut θ sebagai sudut antara [tex]\boxed{ \ \overrightarrow{KR} \ dan \ \overrightarrow{NM} \ }[/tex]

Kita hitung nilai cosinus θ dengan rumus:

[tex] \boxed{ \ cos \ \theta = \frac{KR \cdot NM}{|KR||NM|} \ } [/tex]

[tex]cos \theta = \frac{ \left[\begin{array}{ccc}-2\\0\\3\end{array}\right]. \left[\begin{array}{ccc}0\\5\\0\end{array}\right] }{ \sqrt{(-2)^2+0^2+3^2} \cdot \sqrt{0^2+5^2+0^2} }[/tex]

[tex]cos \ \theta = \frac{(-2)(0)+(0)(5)+(3)(0)}{ \sqrt{13} \cdot \sqrt{25} } [/tex]

[tex]cos \theta = \frac{0}{5 \sqrt{13} } [/tex]

[tex]\boxed{ \ cos \theta = 0 \ } \rightarrow \boxed{ \ \theta = 90^0 \ } [/tex]

Terbukti sudut antara rusuk KR dan NM sebesar 90°.

__________________________

Pelajari lebih lanjut

1. Menghitung besarnya sudut antara dua rusuk kubus  brainly.co.id/tugas/14486320
2. Menghitung jarak titik ke bidang pada suatu kubus https://brainly.co.id/tugas/14511508

------------------------------

Detil jawaban

Kelas: X

Mapel: Matematika

Bab: Geometri Bidang Ruang

Kode: 12.2.2

Kata Kunci: balok KLMN OPQR, panjang KL, LM, MQ, besar sudut antara rusuk KR dan NM, cara vektor