Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 – 8x + 2y + 12 = 0 yang sejajar dengan garis 2x – y + 5 = 0 adalah ....

Kelas : 11
Mapel : Matematika
Kategori : Lingkaran
Kata Kunci : persamaan garis singgung lingkaran, sejajar
Kode : 11.2.4

Pembahasan :
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah
x² + y² + Ax + By + C = 0
dengan A, B, dan C bilangan real.

Titik pusat lingkaran
([tex]- \frac{1}{2}A [/tex], [tex]- \frac{1}{2}B [/tex]).

Jari-jari lingkaran
r = [tex] \sqrt{ \frac{1}{4}A^2+ \frac{1}{4}B^2-C } [/tex]
dengan [tex]\frac{1}{4}A^2+ \frac{1}{4}B^2-C}\ \geq\ 0 [/tex].

Persamaan garis singgung lingkaran
x² + y² + Ax + By + C = 0
dengan gradien m adalah
[tex]y\ +\ \frac{1}{2} B\ =\ m(x\ +\ \frac{1}{2}A)\ +\ r \sqrt{m^2+1} [/tex].
atau
[tex]y\ +\ \frac{1}{2} B\ =\ m(x\ +\ \frac{1}{2}A)\ -\ r \sqrt{m^2+1} [/tex].

Mari kita lihat soal tersebut.
Persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 8x + 2y + 12 = 0 yang sejajar dengan garis 2x - y + 5 = 0 adalah...

Jawab:
Diketahui persamaan lingkaran x² + y² – 8x + 2y + 12 = 0
dengan A = -8, B = 2, dan C = 12.

Jari-jari lingkaran adalah
r = [tex] \sqrt{ \frac{1}{4}A^2+ \frac{1}{4}B^2-C } [/tex]
⇔ r = [tex]\sqrt{ \frac{1}{4}(-8)^2+ \frac{1}{4}(2)^2-12 } [/tex]
⇔ r = [tex] \sqrt{ \frac{1}{4}.64+ \frac{1}{4}.4-12 } [/tex]
⇔ r = [tex] \sqrt{16+1-12} [/tex]
⇔ r = [tex] \sqrt{5} [/tex]

Gradien garis 2x - y + 5 = 0 adalah
2x - y + 5 = 0
⇔ y = 2x + 5
⇔ m₁ = 2

Gradien garis yang sejajar garis 2x - y + 5 = 0 adalah
m₁ = m₂ = 2

Sehingga
[tex]y\ +\ \frac{1}{2}(2)\ =\ 2(x\ +\ \frac{1}{2}(-8))\ +\ \sqrt{5} (\sqrt{2^2\ +\ 1} )[/tex]
⇔ [tex]y\ +\ 1\ =\ 2(x\ +\ (-4))\ +\ \sqrt{5}(\sqrt{4\ +\ 1} )[/tex]
⇔ [tex]y\ +\ 1\ =\ 2(x\ -\ 4)\ +\ \sqrt{5}(\sqrt{5} )[/tex]
⇔ y + 1 = 2(x - 4) + 5
⇔ y + 1 = 2x - 8 + 5
⇔ y - 2x = -8 + 5 - 1
⇔ y - 2x = -4
⇔ y - 2x + 4 = 0.

atau

[tex]y\ +\ \frac{1}{2}(2)\ =\ 2(x\ +\ \frac{1}{2}(-8))\ -\ \sqrt{5}( \sqrt{2^2\ +\ 1} )[/tex]
⇔ [tex]y\ +\ 1\ =\ 2(x\ +\ (-4))\ -\ \sqrt{5}(\sqrt{4\ +\ 1} )[/tex]
⇔ [tex]y\ +\ 1\ =\ 2(x\ -\ 4)\ -\ \sqrt{5}(\sqrt{5} )[/tex]
⇔ y + 1 = 2(x - 4) - 5
⇔ y + 1 = 2x - 8 - 5
⇔ y - 2x = -8 - 5 - 1
⇔ y - 2x = -14
⇔ y - 2x + 14 = 0.

Jadi, persamaan garis singgung lingkaran x² + y² – 8x + 2y + 12 = 0 yang sejajar dengan garis 2x - y + 5 = 0 adalah y - 2x + 4 = 0 atau y - 2x + 14 = 0.

Soal lain untuk belajar: https://brainly.co.id/tugas/14463370

Semangat!

Stop Copy Paste!